A note on an oscillation criterion for an equation with damped term

<p>A new oscillation criterion is given for the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x left-parenthesis t right-parenthesis plus p left-parenthesis t right-parenthesis x prime left-parenthesis t right-parenthesis plus q left-parenthesis t right-parenthesis x left-parenthesis t right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\left ( t \right ) + p\left ( t \right )x’\left ( t \right ) + q\left ( t \right )x\left ( t \right ) = 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="t element-of left-bracket t Subscript o Baseline comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">t \in [{t_o},\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p\left ( t \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q left-parenthesis t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\left ( t \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are allowed to change sign on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket t 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[{t_0},\infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p>