Calculus of archimedean Rankin–Selberg integrals with recurrence relations

<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n prime"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n’</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be positive integers such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n minus n prime element-of StartSet 0 comma 1 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n-n’\in \{0,1\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be either <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n prime"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_{n’}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be maximal compact subgroups of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper G normal upper L left-parenthesis n comma upper F right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">G</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {GL}(n,F)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper G normal upper L left-parenthesis n prime comma upper F right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">G</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {GL}(n’,F)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, respectively. We give the explicit descriptions of archimedean Rankin–Selberg integrals at the minimal <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>- and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K Subscript n prime"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K_{n’}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-types for pairs of principal series representations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper G normal upper L left-parenthesis n comma upper F right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">G</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {GL}(n,F)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper G normal upper L left-parenthesis n prime comma upper F right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">G</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {GL}(n’,F)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, using their recurrence relations. Our results for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F equals double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F=\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be applied to the arithmetic study of critical values of automorphic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-functions.</p>