Global existence, large time behavior and life span of solutions of a semilinear parabolic Cauchy problem

<p>We investigate the behavior of the solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis x comma t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u(x,t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential u Over partial-differential t EndFraction equals normal upper Delta u plus u Superscript p Baseline 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R Superscript n Baseline times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals phi left-parenthesis x right-parenthesis 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R Superscript n Baseline comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>in</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="thickmathspace" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true" /> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {\begin {array}{*{20}{c}} {\frac {{\partial u}} {{\partial t}} = \Delta u + {u^p}} \hfill & {{\text {in}}\;{\mathbb {R}^n} \times (0,T),} \hfill \\ {u(x,0) = \varphi (x)} \hfill & {{\text {in}}\;{\mathbb {R}^n},} \hfill \\ \end {array} } \right .</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts partial-differential squared slash partial-differential Subscript x Sub Subscript i Superscript 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta = \sum \nolimits _{i = 1}^n {{\partial ^2}/\partial _{{x_i}}^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the Laplace operator, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p > 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a constant, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a nonnegative bounded continuous function in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}^n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The main results are for the case when the initial value <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has polynomial decay near <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x equals normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x = \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Assuming <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi tilde lamda left-parenthesis 1 plus StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue right-parenthesis Superscript negative a"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>φ<!-- φ --></mml:mi> <mml:mo>∼<!-- ∼ --></mml:mo> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\varphi \sim \lambda {(1 + |x|)^{ - a}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a > 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, various questions of global (in time) existence and nonexistence, large time behavior or life span of the solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis x comma t right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u(x,t)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are answered in terms of simple conditions on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ<!-- λ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the space dimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p>