Negative Examples in Mathematical Analysis Related to Convexity Properties of Functions

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  • 解析学における反例-関数の凸性に関連して
  • カイセキガク ニオケル ハンレイ カンスウ ノ トツセイ ニ カンレン シテ

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論文(Article)

Abstract　We give negative examples to the following plausible statements:　I. Pointwise product of two positive, strictly convex functions is convex.　II. If ω(δ), ω(0) = 0, is a monotone increasing function which satisfies the ”Δ_2-condition” (ω(2δ)=O(ω(δ))), then, as δ>0 tends to 0, ω(δ)≠O(δ) implies ω(δ)/δ->∞.　Additional conditions validating these statements are also shown.　　次の2つの命題に対して反例を与える。　I　正値凸関数の点ごとの積は凸関数である。　II ω（δ）が，原点でOとなり，Δ_2－条件をみたす増加関数であるとき，δ>OがOに近づくに際してω（δ）≠ω（O）であれば，ω（δ）/δ→∞である。　　これらの命題が正当になる付帯条件も述べる。

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