結び目とグラフの多項式不変量

本論文は２つの部分から構成されている。第１に、内部多項式とHOMFLY多項式に関連した内部多項式の性質を研究する。第２に、有向グラフのHopfモノイドについて研究する。 内側多項式は二部グラフのTutte型不変量であり、特殊交代絡み目のHOMFLY多項式の一部は、その絡み目のSeifertグラフの内側多項式と一致する。この内部多項式を符号付き二部グラフに拡張し、平面的な場合には、自然に関連付けられた絡み目のHOMFLY多項式の最大$z$度部分に等しいことを示す。これは後に任意の有向絡み目にも拡張できることを注意する。この結果は、FloerホモロジーからHOMFLY多項式を導出することを目的とした計画に適したものである。 また、符号付き内部多項式の他のより基本的な性質も研究する。例えば、 結び目図式$L$の鏡像のHOMFLY多項式は$P_{L}(-v^{-1},z)$で与えられる。これは、平面の場合には符号付き内部多項式の鏡像公式を暗示している。本論文では、任意の符号付き二部グラフとすべての符号を反転させたものに同じ性質があることを証明する。この証明は、いわゆる根多面体に適応されたエルハートの反転公式に依存している。また、フライプ操作やミュータントといったの結び目理論的な概念に触発された符号付き内部多項式の公式と、ある種の消滅公式を確立する。後者の消滅公式は、元の符号なし内部多項式の新しい同一性につながる。 一般化されたpermutahedraのHopfモノイド$\rm{\bf GP}$は、AguiarとArdilaによって定義され、組み合わせ論的対象に対応する多くのサブモノイドを含むことを示した。彼らは、一般化されたpermutahedraに基本的な多項式不変量を与え、それがサブモノイドに特殊化することを示した。本論文では、有向グラフのHopfモノイドを定義し、それが$\rm{\bf GP}$にも包含されることを示す。結果として、このHopfモノイドから得られる基本不変量はAwanとBernardiの厳密彩色多項式と一致する。

This thesis consists of two parts. Firstly, we study the interior polynomial and its properties related to the HOMFLY polynomial. Secondly, we study the Hopf monoid of directed graphs. The interior polynomial is a Tutte-type invariant of bipartite graphs, and a part of the HOMFLY polynomial of a special alternating link coincides with the interior polynomial of the Seifert graph of the link. We extend the interior polynomial to signed bipartite graphs, and we show that, in the planar case, it is equal to the maximal $z$-degree part of the HOMFLY polynomial of a naturally associated link. Note that the latter can be any oriented link. This result fits into a program aimed at deriving the HOMFLY polynomial from Floer homology. We also establish some other, more basic properties of the signed interior polynomial. For example, the HOMFLY polynomial of the mirror image of $L$ is given by $P_{L}(-v^{-1},z)$. This implies a mirroring formula for the signed interior polynomial in the planar case. We prove that the same property holds for any bipartite graph and the same graph with all signs reversed. The proof relies on Ehrhart reciprocity applied to the so-called root polytope. We also establish formulas for the signed interior polynomial inspired by the knot theoretical notions of flyping and mutation, as well as a certain vanishing formula. This leads to new identities for the original unsigned interior polynomial. The Hopf monoid $\rm{\bf GP}$ of generalized permutahedra was defined by Aguiar and Ardila, who showed that it contains many submonoids that correspond to combinatorial objects. They also give a basic polynomial invariant of generalized permutahedra, which then specializes to submonoids. We define the Hopf monoid of directed graphs and show that it also embeds in $\rm{\bf GP}$. The resulting basic invariant coincides with the strict chromatic polynomial of Awan and Bernardi.

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