Interchanging a limit and an integral: necessary and sufficient conditions

DOI 機関リポジトリ (HANDLE) PDF Web Site 参考文献7件 オープンアクセス

説明

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>Let <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$\{f_{n}\}_{n \in \mathbb {N}}$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> be a sequence of integrable functions on a <jats:italic>σ</jats:italic>-finite measure space <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$(\Omega, \mathscr {F}, \mu )$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. Suppose that the pointwise limit <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$\lim_{n \uparrow \infty } f_{n}$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> exists <jats:italic>μ</jats:italic>-a.e. and is integrable. In this setting we provide necessary and sufficient conditions for the following equality to hold: <jats:disp-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$ \lim_{n \uparrow \infty } \int f_{n} \, d\mu = \int \lim_{n \uparrow \infty } f_{n} \, d\mu. $$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math></jats:alternatives></jats:disp-formula></jats:p>

収録刊行物

参考文献 (7)*注記

もっと見る

関連プロジェクト

もっと見る

キーワード

詳細情報 詳細情報について

問題の指摘

ページトップへ