テンソル積曲面の縮退法線ベクトル算出法

情報処理学会

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  • Degenerate Normal Vector Computation for Tensor Product Surfaces

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抄録

曲面データの利用にあたって, 法線ベクトルは非常に大きな意味を持っている. 陰影画表示のための輝度計算, 曲面間の交線計算など, 殆んどすべての応用において法線ベクトルが必要となる. 一方, CADなどの応用では, ベジエ曲面やB-スプライン曲面などのテンソル積形式の曲面が主に利用される. このテンソル積曲面S(u, v)上の法線ベクトルN(u, v)は, 通常, 次のように外積を用いて計算される. N(u, v)=Su(u, v)×Sv(u, v) (1) ここで, Su(u, v)とSv(u, v)は, 曲面S(u, v)のuとvの1階導関数で, u, v方向の接ベクトルである. (1)式によって計算される法線ベクトルが零ベクトルとなるものを続退法線ベクトルと呼ぶ. 法線ベクトルは, 一般に正規化して単位ベクトルの形式で用いられるため, 縮退法線ベクトルは場合によって異常終了にもつながりかねない. Farinは, 続退法線ベクトルの例として, 図1の曲面を挙げている[1]. 上の角の丸いパッチでは, 四隅の制御点とそれらに隣接する2つの制御点, たとえば図のP_<20>, P_<30>, P_<31>の3点, が共線にある. この結果, 四隅では接ベクトルが平行になって, 法線ベクトルが縮退する. 下の図の縮退三角形パッチでは, 四辺形境界の1辺が1点に縮退しており, その辺上の接ベクトルは大きさが零となって法線ベクトルが縮退する. これらの曲面は, 三角形のパッチなどを作るために, 実用的にもしばしば用いられる. これらの縮退法線ベクトルは曲面パッチの様々な箇所に存在しうることが知られているが, 幾つかの特別な場合[2, 1]を除いて, その計算法は示されていなかった. 本研究では, この縮退法線ベクトルの算出法を提案する.

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