実用的な古典的誤差評価法の提案とGauss型積分公式の分点計算への応用について

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  • ジツヨウテキナ コテンテキ ゴサ ヒョウカホウ ノ テイアン ト Gaussガタ セキブン コウシキ ノ フンテン ケイサン エノ オウヨウ ニ ツイテ
  • On Proposal of Practical Classical Error Estimation Method and Its Application to Numerical Computations of Abscissas of Gauss Quadrature Rules

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抄録

有限桁の浮動小数点演算を用いた数値計算によって得られる近似値は誤差を持つ．この誤差は理論誤差と丸め誤差から構成されているため，それぞれを個別に評価できれば，誤差はこれらの最大値として評価することができる．いわゆる「古典的誤差評価法」は，条件を変えて得られた複数の近似値から事後的にこれらの誤差を個別に評価する標準的な方法であり，既存の数値計算アルゴリズムを大幅に書き換える必要なく使用できるという利点を持つ．本稿ではこの古典的誤差評価法の考え方に基づき，ユーザが求める精度を持つGauss型積分公式の分点計算が，2つの異なる数値計算アルゴリズムに対してそれぞれ可能であることを示す．

Approximations obtained by numerical computations based on finite precision floating-point arithmetic lead to errors, which are primarily composed of theoretical and round-off errors. If we can estimate theoretical errors and round-off errors separately, the total error can be estimated as the maximum value of all the errors. The so-called “classical error estimation” (CEE) approach is a standard a posteriori method of estimating these errors; in this approach, errors are estimated by comparing several approximations obtained under various conditions. The advantage of this approach is that it is not necessary to rewrite the many existing numerical computation algorithms completely. In this paper, we demonstrate that our CEE-based error estimation method can be applied to two different algorithms in order to obtain the abscissas of Gauss quadrature rules with the user-required precision.

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