On the ruin probability of the generalised Ornstein–Uhlenbeck process in the cramér case

<jats:p>For a bivariate Lévy process (ξ<jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub>,η<jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub>)<jats:sub><jats:italic>t</jats:italic>≥ 0</jats:sub>and initial value<jats:italic>V</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>define the generalised Ornstein–Uhlenbeck (GOU) process<jats:italic>V</jats:italic><jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub>:=e<jats:sup>ξ<jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub></jats:sup>(<jats:italic>V</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>+∫<jats:sup><jats:italic>t</jats:italic></jats:sup><jats:sub>0</jats:sub>e<jats:sup>-ξ<jats:sub><jats:italic>s-</jats:italic></jats:sub></jats:sup>dη<jats:sub><jats:italic>s</jats:italic></jats:sub>),<jats:italic>t</jats:italic>≥0, and the associated stochastic integral process<jats:italic>Z</jats:italic><jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub>:=∫<jats:sub>0</jats:sub><jats:sup>t</jats:sup>e<jats:sup>-ξ<jats:sub><jats:italic>s-</jats:italic></jats:sub></jats:sup>dη<jats:sub><jats:italic>s</jats:italic></jats:sub>,<jats:italic>t</jats:italic>≥0. Let<jats:italic>T</jats:italic><jats:sub><jats:italic>z</jats:italic></jats:sub>:=inf{<jats:italic>t</jats:italic>&gt;0:<jats:italic>V</jats:italic><jats:sub><jats:italic>t</jats:italic></jats:sub>&lt;0|<jats:italic>V</jats:italic><jats:sub>0</jats:sub>=<jats:italic>z</jats:italic>} and ψ(<jats:italic>z</jats:italic>):=P(<jats:italic>T</jats:italic><jats:sub><jats:italic>z</jats:italic></jats:sub>&lt;∞) for<jats:italic>z</jats:italic>≥0 be the ruin time and infinite horizon ruin probability of the GOU process. Our results extend previous work of Nyrhinen (2001) and others to give asymptotic estimates for ψ(<jats:italic>z</jats:italic>) and the distribution of<jats:italic>T</jats:italic><jats:sub><jats:italic>z</jats:italic></jats:sub>as<jats:italic>z</jats:italic>→∞, under very general, easily checkable, assumptions, when ξ satisfies a Cramér condition.</jats:p>