Multiplicative Invariant Fields of Dimension ≤6

<p>The finite subgroups of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 4 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_4(\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are classified up to conjugation in Brown, Büllow, Neubüser, Wondratscheck, and Zassenhaus (1978); in particular, there exist <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="710"> <mml:semantics> <mml:mn>710</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">710</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> non-conjugate finite groups in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 4 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_4(\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Each finite group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 4 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_4(\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acts naturally on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Z Superscript circled-plus 4"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Z}^{\oplus 4}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; thus we get a faithful <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattice <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal r normal a normal n normal k Subscript double-struck upper Z Baseline upper M equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {rank}_\mathbb {Z} M=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In this way, there are exactly <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="710"> <mml:semantics> <mml:mn>710</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">710</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such lattices. Given a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattice <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal r normal a normal n normal k Subscript double-struck upper Z Baseline upper M equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {rank}_\mathbb {Z} M=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> acts on the rational function field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis colon-equal double-struck upper C left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 comma x 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}(M)≔\mathbb {C}(x_1,x_2,x_3,x_4)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by multiplicative actions, i.e. purely monomial automorphisms over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We are concerned with the rationality problem of the fixed field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}(M)^G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A tool of our investigation is the unramified Brauer group of the field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}(M)^G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is known that, if the unramified Brauer group, denoted by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, is non-trivial, then the fixed field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}(M)^G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not rational (= purely transcendental) over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A formula of the unramified Brauer group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for the multiplicative invariant field was found by Saltman in 1990. However, to calculate <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for a specific multiplicatively invariant field requires additional efforts, even when the lattice <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is of rank equal to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4"> <mml:semantics> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. There is a direct decomposition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis equals upper B 0 left-parenthesis upper G right-parenthesis circled-plus upper H Subscript u Superscript 2 Baseline left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)= B_0(G) \oplus H^2_u(G,M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript u Superscript 2 Baseline left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2_u(G,M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is some subgroup of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H squared left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2(G,M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The first summand <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 0 left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_0(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, which is related to the faithful linear representations of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, has been investigated by many authors. But the second summand <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript u Superscript 2 Baseline left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2_u(G,M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> doesn’t receive much attention except when the rank is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="less-than-or-equal-to 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\le 3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Theorem 1. Among the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="710"> <mml:semantics> <mml:mn>710</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">710</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> finite groups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the associated faithful <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattice with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal r normal a normal n normal k Subscript double-struck upper Z Baseline upper M equals 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">k</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {rank}_\mathbb {Z} M=4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, there exist precisely <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5"> <mml:semantics> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> lattices <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis not-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)\neq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In these situations, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 0 left-parenthesis upper G right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_0(G)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and thus <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis subset-of upper H squared left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)\subset H^2(G,M)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5"> <mml:semantics> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> groups are isomorphic to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D 4"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D_4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q 8"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q upper D 8"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">QD_8</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper L 2 left-parenthesis double-struck upper F 3 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SL_2(\mathbb {F}_3)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 2 left-parenthesis double-struck upper F 3 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_2(\mathbb {F}_3)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> whose <roman>GAP IDs</roman> are <roman>(4,12,4,12), (4,32,1,2), (4,32,3,2), (4,33,3,1), (4,33,6,1)</roman> respectively in Brown, Büllow, Neubüser, Wondratscheck, and Zassenhaus (1978) and in The GAP Group (2008). Theorem 2. There exist <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6079"> <mml:semantics> <mml:mn>6079</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6079</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="85308"> <mml:semantics> <mml:mn>85308</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">85308</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) finite subgroups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 5 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_5(\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G upper L 6 left-parenthesis double-struck upper Z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Z</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">GL_6(\mathbb {Z})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>). Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the lattice with rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5"> <mml:semantics> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="6"> <mml:semantics> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) associated to each group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Among these lattices precisely <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="46"> <mml:semantics> <mml:mn>46</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">46</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1073"> <mml:semantics> <mml:mn>1073</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1073</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) of them satisfy the condition <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis not-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)\neq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The <roman>GAP IDs</roman> (actually the <roman>CARAT IDs</roman>) of the corresponding groups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> may be determined explicitly. Motivated by these results, we construct <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattices <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 n plus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2n+2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4 n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">4n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(p-1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (<inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is any positive integer and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is any odd prime number) satisfying that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 0 left-parenthesis upper G right-parenthesis equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_0(G)=0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript u Superscript 2 Baseline left-parenthesis upper G comma upper M right-parenthesis not-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^2_u(G,M)\neq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; and therefore <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}(M)^G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are not rational over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For these <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattices <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we prove that the flabby class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket upper M right-bracket Superscript f l"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[M]^{fl}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not invertible. We also construct an example of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper C 2 right-parenthesis cubed"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(C_2)^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattice (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A 6"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A_6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-lattice) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="7"> <mml:semantics> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">7</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="9"> <mml:semantics> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">9</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>) with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper B normal r Subscript u Baseline left-parenthesis double-struck upper C left-parenthesis upper M right-parenthesis Superscript upper G Baseline right-parenthesis not-equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">B</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">r</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Br}_u(\mathbb {C}(M)^G)\neq 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. As a consequence, we give a counter-example to Noether’s problem for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N right-normal-factor-semidirect-product upper A 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N\rtimes A_6</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is some abelian group.</p>