Jacobi sums and new families of irreducible polynomials of Gaussian periods

<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m> 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="zeta Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>ζ<!-- ζ --></mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\zeta _m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-th primitive root of 1, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q identical-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q\equiv 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> mod <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a prime number, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s equals s Subscript q"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s=s_{q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a primitive root modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="q"> <mml:semantics> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f equals f Subscript q Baseline equals left-parenthesis q minus 1 right-parenthesis slash m"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f=f_{q}=(q-1)/m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We study the Jacobi sums <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript a comma b Baseline equals minus sigma-summation Underscript k equals 2 Overscript q minus 1 Endscripts zeta Subscript m Superscript a ind Super Subscript s Superscript left-parenthesis k right-parenthesis plus b ind Super Subscript s Superscript left-parenthesis 1 minus k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>ζ<!-- ζ --></mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mspace width="thinmathspace" /> <mml:msub> <mml:mtext>ind</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> ...