Mirror symmetry of abelian varieties and multi-theta functions

<p>We study homological mirror symmetry conjecture of symplectic and complex torus. We will associate a mirror torus<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Superscript 2 n Baseline comma omega plus StartRoot negative 1 EndRoot upper B right-parenthesis Superscript logical-and"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msqrt><mml:mi>B</mml:mi><mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>∧<!-- ∧ --></mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">(T^{2n},\omega +\sqrt {-1}B)^{\wedge }</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>to each symplectic torus<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Superscript 2 n Baseline comma omega right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">(T^{2n},\omega )</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>together with a closed 2 form<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"><mml:semantics><mml:mi>B</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>which we call a<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"><mml:semantics><mml:mi>B</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>-field. We will associate a coherent sheaf<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper E left-parenthesis upper L comma script upper L right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathcal E}(L,{\mathcal L})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>on<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Superscript 2 n Baseline comma omega plus StartRoot negative 1 EndRoot upper B right-parenthesis Superscript logical-and"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>T</mml:mi><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω<!-- ω --></mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msqrt><mml:mo>−<!-- − --></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:msqrt><mml:mi>B</mml:mi><mml:msup><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>∧<!-- ∧ --></mml:mo></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">(T^{2n},\omega +\sqrt {-1}B)^{\wedge }</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>to each pair<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper L comma script upper L right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>L</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">(L,{\mathcal L})</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>of affine Lagrangian submanifolds<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"><mml:semantics><mml:mi>L</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>and a flat complex line bundle<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper L"><mml:semantics><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi class=" ...