Heat kernels for reflected diffusions with jumps on inner uniform domains

<p>In this paper, we study sharp two-sided heat kernel estimates for a large class of symmetric reflected diffusions with jumps on the closure of an inner uniform domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in a length metric space. The length metric is the intrinsic metric of a strongly local Dirichlet form. When <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an inner uniform domain in the Euclidean space, a prototype for a special case of the processes under consideration is symmetric reflected diffusions with jumps on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, whose infinitesimal generators are non-local (pseudo-differential) operators <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper L"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {L}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper L u left-parenthesis x right-parenthesis equals one half sigma-summation Underscript i comma j equals 1 Overscript d Endscripts StartFraction partial-differential Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis a Subscript i j Baseline left-parenthesis x right-parenthesis StartFraction partial-differential u left-parenthesis x right-parenthesis Over partial-differential x Subscript j Baseline EndFraction right-parenthesis plus limit Underscript epsilon down-arrow 0 Endscripts integral Underscript StartSet y element-of upper D colon rho Subscript upper D Baseline left-parenthesis y comma x right-parenthesis greater-than epsilon EndSet Endscripts left-parenthesis u left-parenthesis y right-parenthesis minus u left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis upper J left-parenthesis x comma y right-parenthesis d y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mfrac> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">↓</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mspace width="negativethinmathspace"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {L} u(x)\! =\!\frac 12 \!\sum _{i, j=1}^d\! \frac {\partial }{\partial x_i}\! \left (\!\!a_{ij}(x) \frac {\partial u(x)}{\partial x_j}\!\right ) \!+ \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\! \int _{\{y\in D: \, \rho _D(y, x)>\varepsilon \}}\!\! (u(y)-u(x)) J(x, y)\, dy</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> satisfying “Neumann boundary condition”. Here, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho Subscript upper D Baseline left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho _D(x,y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the length metric on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A left-parenthesis x right-parenthesis equals left-parenthesis a Subscript i j Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Subscript 1 less-than-or-equal-to i comma j less-than-or-equal-to d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A(x)=(a_{ij}(x))_{1\leq i,j\leq d}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a measurable <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d times d"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d\times d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> matrix-valued function on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D"> <mml:semantics> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that is uniformly elliptic and bounded, and <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-parenthesis x comma y right-parenthesis colon-equal StartFraction 1 Over normal upper Phi left-parenthesis rho Subscript upper D Baseline left-parenthesis x comma y right-parenthesis right-parenthesis EndFraction integral Underscript left-bracket alpha 1 comma alpha 2 right-bracket Endscripts StartFraction c left-parenthesis alpha comma x comma y right-parenthesis Over rho Subscript upper D Baseline left-parenthesis x comma y right-parenthesis Superscript d plus alpha Baseline EndFraction nu left-parenthesis d alpha right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J(x,y)≔\frac {1}{\Phi (\rho _D(x,y))} \int _{[\alpha _1, \alpha _2]} \frac {c(\alpha , x,y)} {\rho _D(x,y)^{d+\alpha }} \,\nu (d\alpha ),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="nu"> <mml:semantics> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\nu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite measure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket alpha 1 comma alpha 2 right-bracket subset-of left-parenthesis 0 comma 2 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[\alpha _1, \alpha _2] \subset (0, 2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Phi"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an increasing function on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-bracket 0 comma normal infinity right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">[ 0, \infty )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 1 e Superscript c 2 r Super Superscript beta Baseline less-than-or-equal-to normal upper Phi left-parenthesis r right-parenthesis less-than-or-equal-to c 3 e Superscript c 4 r Super Superscript beta"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Φ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c_1e^{c_2r^{\beta }} \le \Phi (r) \le c_3 e^{c_4r^{\beta }}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="beta element-of left-bracket 0 comma normal infinity right-bracket"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\beta \in [0,\infty ]</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c left-parenthesis alpha comma x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c(\alpha , x, y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a jointly measurable function that is bounded between two positive constants and is symmetric in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis x comma y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(x, y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.</p>