Possible molecular states of $$D^{(*)}D^{(*)}$$ and $$B^{(*)}B^{(*)}$$ within the Bethe–Salpeter framework

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>Recently the LHCb collaboration reported a new exotic state <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$T^+_{cc}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> which possesses <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$cc\bar{u}\bar{d}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> flavor structure. Since its mass is very close to the threshold of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^0D^{*+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (or <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^{*0}D^{+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) and its width is very narrow, it is inclined to conjecture that <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$T^+_{cc}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is a molecular state of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^0D^{*+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (or <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^{*0}D^{+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>). In this paper we study the possible molecular structures of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^{(*)}D^{(*)}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$B^{(*)}B^{(*)}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> within the Bethe–Salpeter (B–S) framework. We employ one boson exchange model to stand the interaction kernels in the B–S equations. With reasonable input parameters we find the isospin eigenstate <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\frac{1}{\sqrt{2}}(D^0D^{*+}-D^{*0}D^{+})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$J^P=1^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) constitutes a solution, which supports the ansatz of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$T^+_{cc}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> being a molecular state of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^0D^{*+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (or <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$D^{*0}D^{+}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>). With the same parameters we also find that the isospin-1 state <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\frac{1}{\sqrt{2}}(D^{*0}D^{*+}+D^{*0}D^{*+})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> (<jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$J^P=0^+$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>) can exist. Moreover, we also study the systems of <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$B^{(*)}B^{(*)}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow /> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> and their counterparts exist as possible molecular states. Consistency of theoretical computations based on such states with the data of the future experiments may consolidate the molecular structure of the exotic state <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$T^+_{cc}$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>.</jats:p>