Counting faces of randomly projected polytopes when the projection radically lowers dimension

<p> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q equals upper Q Subscript upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q = Q_N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote either the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional cross-polytope <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C^N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -dimensional simplex <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T Superscript upper N minus 1"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T^{N-1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A equals upper A Subscript n comma upper N"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A = A_{n,N}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote a random orthogonal projector <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A colon bold upper R Superscript upper N Baseline right-arrow from bar b upper R Superscript n"> ...