An Obata-type theorem on compact Einstein manifolds with boundary

<jats:title>Abstract</jats:title><jats:p>We show a kind of Obata-type theorem on a compact Einstein <jats:italic>n</jats:italic>-manifold <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(W, \bar{g})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> with smooth boundary <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\partial W$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. Assume that the boundary <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\partial W$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is minimal in <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(W, \bar{g})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>. If <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(\partial W, \bar{g}|_{\partial W})$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula> is not conformally diffeomorphic to <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$(S^{n-1}, g_S)$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math></jats:alternatives></jats:inline-formula>, then for any Einstein metric <jats:inline-formula><jats:alternatives><jats:tex-math>$$\check{g} \in [\bar{g}]$$</jats:tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>ˇ</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> ...