Vanishing of Ext and Tor over fiber products

<p>Consider a non-trivial fiber product <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R equals upper S times Subscript k Baseline upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>×<!-- × --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R=S\times _kT</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of local rings <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with common residue field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Given two finitely generated <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-modules <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T o r Subscript i Superscript upper R Baseline left-parenthesis upper M comma upper N right-parenthesis equals 0 equals upper T o r Subscript i plus 1 Superscript upper R Baseline left-parenthesis upper M comma upper N right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Tor</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>Tor</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Tor}^R_i(M,N)=0=\operatorname {Tor}^R_{i+1}(M,N)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i greater-than-or-slanted-equals 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>⩾<!-- ⩾ --></mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">i\geqslant 5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p d Subscript upper R Baseline left-parenthesis upper M right-parenthesis less-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>pd</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {pd}_R(M)\leqslant 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> or <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p d Subscript upper R Baseline left-parenthesis upper N right-parenthesis less-than-or-slanted-equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>pd</mml:mi> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩽<!-- ⩽ --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {pd}_R(N)\leqslant 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. From this, we deduce several consequences, for instance, that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies the Auslander-Reiten Conjecture.</p>