テンソルネットワーク形式の進展と応用

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  • Tensor Network Formulation―Developments and Applications―
  • テンソルネットワーク ケイシキ ノ シンテン ト オウヨウ

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抄録

<p>原子・分子スケールの微視的な物理は，我々が目にする巨視的な測定量に，どう現れるのだろうか．微視的なものとして，例えば磁性体を構成するスピン自由度を考えてみよう．結晶格子中で，幾つかのスピン自由度を含む“ブロック”に着目すると，これを新たに「1つの有効的な自由度」とみなすことが可能だ．このような「自由度の抽出」はカダノフによって半世紀前に提唱されたもので，ブロックスピン変換と呼ばれている．この変換を繰り返せば1つのブロックに対応する領域が指数的に大きくなり，やがて巨視的な大きさへと到達する．このように物理系を粗く眺める粗視化や，逐次的なスケール変換のアイデアはウィルソンによって整理され，繰り込み群の概念が生まれた．</p><p>巨視系には普遍的に現れる相転移と臨界現象を，繰り込み群は定量的に説明する．ただ，ブロックスピン変換を用いる実空間繰り込み群によって，相転移を特徴付ける臨界指数を正確に求めることは困難であった．粗視化に伴う相互作用の変化である「有効ハミルトニアンの流れ（flow）」を，精密には追えなかったのだ．実は，ブロックから抽出する自由度の選び方に問題が潜んでいたのである．</p><p>本稿で紹介するテンソルネットワーク形式では，隣接するブロック間の結合に着目し，相互の連絡に「物理の本質」を見出す．ブロックの境界（辺や面）に並んでいるスピン自由度をまとめ，1つの多状態自由度として取り扱うのだ．例えば立方体のブロックを考えるなら，それぞれの面にi，j，k，ℓ，m，nの，合計6つの多状態自由度を割り当てる．他方，境界に面していないブロック内のスピンは，配位和を取り消去してしまう．このような手続きを経て粗視化を行うと，系が持つ相互作用や相関を全て，局所的な重率テンソルAijkℓmnへと押し込んでしまえるわけだ．この自由度抽出を，系の持つエンタングルメントを保ちつつ，行列の特異値分解（SVD）によって効率的に行うことが，テンソルネットワーク形式の特徴である．本稿では，磁性体の模型であるイジング模型を例に取り，同形式の概要を紹介し，最近のマルチスケールな発展についても触れる．</p><p>テンソルネットワーク形式は行列積状態（MPS）に，その原型を見ることができる．イジング模型の相転移を導出するクラーマース・ワニエ近似に端を発し，菊池の近似を経て，半世紀前にバクスターが確立した角転送行列（CTM）の手法は，実質的には3脚テンソルAiαβの縮約で転送行列の固有ベクトルを近似する変分法だ．1次元スピン鎖のAKLT状態，デリダによる非平衡定常状態の記述，密度行列繰り込み群（DMRG）による数値計算など，MPSは何度も「再発見的に」用いられて来た．近年では，高次元系への拡張であるテンソル積状態（TPS/ PEPS）が，2次元量子系の基底状態解析に応用されつつある．テンソルネットワーク形式は，数値解析に適した物理系の表現手段なのだ．</p>

収録刊行物

  • 日本物理学会誌

    日本物理学会誌 72 (10), 702-711, 2017-10-05

    一般社団法人 日本物理学会

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