Uhlmann 密度行列幾何の検討

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  • Uhlmann ミツド ギョウレツ キカ ノ ケントウ
  • A Challenge to the Uhlmann Geometry for Density Matrices

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一度[19] で、正作用素のファイバー束幾何学的な解説を述べたことがあるが、最近知ったUhlmann の幾何学は、ノーベル賞の重要な論文でTKNN の名で通っているトポロジカル相転移に関する甲元の幾何学描像の拡張として導入されたファイバー束幾何である。正作用素幾何の部分的な多様体であるが、微妙に構造が変化していて、思っていたよりも解釈しづらく、幾何学の知識のみではなく量子物理の深い知識も要求されるので、そのままでは分かりやすい解説があるとは言えない。そこで、測地線を主体にして、物理的な柵をできるだけ排除し、未解決な部分はまだ少し残っているものの、少なくとも後学者がストレスなしに読めるようできうる限り平易な解説を試みたい。測地線は通常可逆なものが主体なので、最後にGrassmann 多様体の測地線から得られる、非可逆で階数が一定な測地線の例を紹介したい。

Based on the geometric picture due to M.Kohmoto that is well-known as the TKNN theory in the Nobel Prize in Physics 2016, A.Uhlmann generalized it for the case of mixed states, i.e., density operators. Observing this geometry from a critical viewpoint, we try to summarize it as a geometry of density matrices as a simple mathematical picture. Since the discussions of the geodesics are almost those for the invertible case, I propose an interesting example for non-invertible case related to the Grassmannian.

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