下取りを考慮した取替問題

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  • A REPLACEMENT PROBLEM WITH TRADE-IN

抄録

確率的に故障する機械の取替問題は従来盛んに研究されているが、この論文では、取替時に故障部品の下取りが行なわれ、又交換部品をいくつかの種類の中から選択出来る場合に如何に取替部品の選択を行なうべきかを考察する。具体的には次の問題を考える。あるシステムと、そのシステムに欠くことの出来ない一部品を取り上げる。システムはある有限時間丁動作することを要求される。部品の故障はシステムの故障を導くので、残り時間t(t > 0)で部品が故障した場合、直ちに新都晶と取替えなければならない。ここで部品にはタイプがn種類存在し、どのタイプの部品に取替えるかが問題となる。簡単化の為に、各タイプの部品の故障は指数分布に従うものとする。この仮定は実際の故障分布の第一近似と見傲されよう。取替費用としては、タイプiの部品をjの部品に取替えるときC(i、j)かかるとする。部品の故障時に新部品を購入して取替を行なうが、購入時に故障部品を下取りするケースはしばしば存在する。このような場合、取替費用は新部品の購入費のみでなく、故障部品にも依存する。この設定の下で、期待費用を最小とする取替方式を決定したい。実例としては、車のタイヤやバッテリー等を取替える際の製品の選択とか、ステレオコンポネントのプレーヤー等を交換する際の製品の選択問題などを頭に描くと良いと思われる。一般の取替費用の場合に、いくつか解の性質が得られるが、特に劣モジュラー関数で与えられるとき、以下の性質が導かれる。残りt時間でタイプi(j)の部品が故障したとき、タイプi*(j*)が最適な取替部品であるとすると、i < jならばi* < j*となる。これは最適政策を計算する際に利用される。なお、劣モジュラー関数の仮定は、下取り価格が2部品問の互換性などで表わされる場合にはかなり妥当と思われる。その他、販売戦略等に依り全てのタイプが下取り可能とは限らない場合についても同様な議論がなされる。下取り価格が故障部品のタイプのみによって決定される場合には、最適な取替部品のタイプは故障部品に依存しない。更に、最適取替費用は残り時間tに関して区分的に線形な凹関数となることが示され、実際、陽に最適取替政策及び費用が導かれる。最後に、考察すべき部品が唯一つとは限らないケースを扱う。それらが直列、並列、直並列等につながっている場合、多くは単一部品の問題に帰着されることを示す。

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