線形制約式系の定性的諸性質

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タイトル別名
  • QUALITATIVE PROPERTIES OF SYSTEMS OF LINEAR CONSTRAINTS

抄録

線形制約式系はオペレーションズ・リサーチだけでなく、数学、経済学、工学等において、さまざまな形で現れる。線形制約式の性質で、特定のパラメータ値の場合にだけ成立するのでなく、与えられた符号パターンを満たすすべてのパラメータに対して成立するような性質を定性的性質と呼ぶ。このような定性的立場からの研究は、従来経済学の分野において比較静学の名の下に行なわれてきたが、問題を数学的に単純化して述べると、n元連立方程式Ax=bにおいて、(A、b)の各成分の符号パターンだけが与えられた時、それから解ベクトルxの符号パターンが一義的に定まるのはどんな場合か、ということであった。この問題はLanchaster、Gorman、Lady等によって解決されているが、結論は(A、b)が標準型と呼ばれる特殊な形の符号行列であるか、一連の手続によって標準型に帰着しうるものに限られるということで、実際問題中にそのような特殊な符号パターンが出現する可能性はほとんどないので、理論的興味の域を出ない。本論文では、一般的な線形制約式系を対象として、その定性的性質を調べる。すなわち、線形制約式系の性質としては、実行可能(不可能)性、実行可能領域の有界(非有界)性、目的関数の有界(非有界)性などが考えられるが、本論文においてはこれらの性質が定性的に成立するための必要十分条件を求める。さらに、線型計画問題を定性的視点より考察し、定性的双対定理ともいうべきものを導いている。また、このような定性的アプローチが役に立ちうる場面をいくつか挙げている。

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