Numerical Method for the Repeated Integrals of the Complementary Error Function <i>i<sup>n</sup></i>erfc(<i>x</i>)

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  • 余誤差関数の繰り返し積分<i>i<sup>n</sup></i>erfc(<i>x</i>)の数値計算法

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本稿では，余誤差関数の繰り返し積分in erfc(x)の効率的な計算法を述べる．xの値が小さい場合には，in erfc(x)のテイラー展開を利用し計算する．xの値が小さくない場合には，in erfc(x)のテイラー展開は桁落ちが生ずるので用いることができない．in erfc(x)の計算には，Millerのアルゴリズム，すなわち漸化式を用いる方法があるが，あらかじめ，その繰返し回数を近似式で与えておく必要があることが欠点である．そこで，要求精度で自動的に，in erfc(x)を計算できるDeuflhardのアルゴリズムを新規に提案する．

An efficient computation method is proposed for the repeated integrals of the complementary error function in erfc(x). When the value of x is small, the Taylor expansion of in erfc(x) is used for calculation, but when the value of x is not small, the Taylor expansion causes cancellation of digits and cannot be used. Gautschi proposed Miller's algorithm using a recurrence formula as a method of calculating in erfc(x), but it is necessary to give the number of iterations in advance. We propose a simple Deuflhard's algorithm that can automatically compute in erfc(x) with the required accuracy using a recurrence formula.

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