微分可能多様体としての正定値行列とその測地線

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  • ビブン カノウ タヨウタイ ト シテ ノ セイ テイチ ギョウレツ ト ソノ ソクチセン

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抄録

type:Article

Corach-Porta-Rechtが採用した正定値行列のファイバー束を使った幾何学的考察,いわゆる「CPR幾何学」は,その手法が特殊なため,あまり正当な評価を受けているとは言いがたかった。最近Hiai-Petzが導入した測地線に対して,筆者がCPR型の解釈を試みたことで,元のCPR幾何学がなぜそのような描像を選んだのかが明らかになり,簡潔にして要を得た手法だったことが判明した。ここではその利点を余すところなく解説し,ファイバー束の幾何学の直観的解釈に基づいて,Hiai-Petzの測地線を導く中で,教育的な視点も交えながら,CPR幾何学の本質を論じてみたい。

Since it is hard to explain why Corach-Porta-Recht should use fiber bundles and their actions in their geometry of the positive-definite matrices, almost all researchers have kept away from their method in this subject. Recently Hiai-Petz introduced interest parametrized Riemannian geometries whose geodesics are paths of operator means. So the author discussed their geometry from the viewpoint of the Corach-Porta-Recht. Consequently we now learned that they used a very natural and brief explanation for their geometry. Based on a intuitive interpretation of basic concepts of their geometry, we show these facts in the discussion of the Hiai-Petzgeodesics.

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