アフィン代数多様体上の線形符号の一般化ハミング重みについて

従来の代数幾何符号の一般化として, アフィン代数多様体上の線形符号が三浦により提案されている. 更に, この符号の構成に単項式順序とそれによって定まるGrobner基底を導入すると, そのFeng-Rao設計距離により符号の最小距離の非自明な下界が得られる. 小文では, 三浦の構成法によるアフィン代数多様体上の線形符号について, その一般化ハミング重みの下界を与える. まず, 単項式順序とそれによって定まるGrobner基底を用いて, 部分符号を定める検査行列の系列に係わる一種の従属関係を明らかし, これを用いて一般化ハミング重みの下界式を導出する. また, このとき定まる定数g^*に対し, μ(>g^*)次の一般化ハミング重みが, 符号の検査点数をγとするときμ+γで与えられ, 真の一般化ハミング重みに一致することを示す. 更にFeng-Raoによって導入されたwell-behaving pairと呼ばれる概念を用いることにより, μ>g^*における一般化ハミング重みの下界が更に改善されることを示す.
As a generalization of conventional algebraic geometric codes, codes constructed on affine algebraic varieties were proposed by S.Miura. He has shown that by introducing a monomial order and a Grobner basis in the code construction, the Feng-Rao designed distance gives a non-trivial lower bound for the minimum distance of the code. In this paper, we give a lower bound for the generalized Hamming weights of linear codes on affine algebraic varieties constructed by Miura's method. We first investigate a kind of linearly dependent relation on the sequence of parity check matrices by using the monomial order and the Grobner basis employed. Then we provide a lower bound for the generalized Hamming weights of the code. Next, by introducing a number g^* which is determined by a given affine algebraic variety, we show that when the order π of generalized Hamming weights is greater than g^*, the proposed lower bound agrees with the true generalized Hamming weights. Finally, we improve the proposed bound for μ>g^* by using the notion of well-behaving pair which was introduced by Feng and Rao.