Homogeneous polynomials and invariant subspaces in the polydisc

<p>We determine the invariant subspaces <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared left-parenthesis upper T squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{L^2}({T^2})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which there is a subspace <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and a positive integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r"> <mml:semantics> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M equals sigma-summation Underscript n equals 0 Overscript normal infinity Endscripts circled-plus left-bracket sigma-summation Underscript j equals 0 Overscript n Endscripts z Superscript j Baseline w Superscript r left-parenthesis n minus j right-parenthesis Baseline upper S right-bracket comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>⊕<!-- ⊕ --></mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:munderover> <mml:mo movablelimits="false">∑<!-- ∑ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M = \sum \limits _{n = 0}^\infty { \oplus \left [ {\sum \limits _{j = 0}^n {{z^j}{w^{r(n - j)}}S} } \right ]} ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where, for a subspace <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L squared comma upper T squared comma left-bracket upper A right-bracket"> <mml:semantics> < ...